Алгоритм нахождения данных точек оговаривался уже неоднократно, кратко повторюсь:
1. Находим производную функции.
2. Находим нули производной (приравниваем производную к нулю и решаем уравнение).
3. Далее строим числовую ось, на ней отмечаем найденные точки и определяем знаки производной на полученных интервалах. *Это делается путём подстановки произвольных значений из интервалов в производную.
Если вы совсем не знакомы со свойствами производной для исследования функций, то обязательно изучите статью « ». Также повторите таблицу производных и правила дифференцирования (имеются в этой же статье). Рассмотрим задачи:
77431. Найдите точку максимума функции у = х 3 –5х 2 +7х–5.
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
3х 2 – 10х + 7 = 0
у(0) " = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
у(2) " = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0
у(3) " = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0
В точке х = 1 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
Ответ: 1
77432. Найдите точку минимума функции у = х 3 +5х 2 +7х–5.
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
3х 2 + 10х + 7 = 0
Решая квадратное уравнение получим:
Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:
у( –3 ) " = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0
у( –2 ) "= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0
у(0 ) "= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
В точке х = –1 производная меняет свой знак с отрицательного на положительный, значит это есть искомая точка минимума.
Ответ: –1
77435. Найдите точку максимума функции у = 7+12х–х 3
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
12 – 3х 2 = 0
х 2 = 4
Решая уравнение получим:
*Это точки возможного максимума (минимума) функции.
Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:
у( –3 ) "= 12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0
у(0 ) "= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0
у( 3 ) "= 12 – 3∙3 2 = –15 < 0
В точке х = 2 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
Ответ: 2
*Для этой же функции точкой минимума является точка х = – 2.
77439. Найдите точку максимума функции у = 9х 2 – х 3 .
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
18х –3х 2 = 0
3х(6 – х) = 0
Решая уравнение получим:
Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:
у( –1 ) "= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0
у(1 ) "= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0
у(7 ) "= 18∙7 –3∙7 2 = –1< 0
В точке х = 6 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
Ответ: 6
*Для этой же функции точкой минимума является точка х = 0.
77443. Найдите точку максимума функции у = (х 3 /3)–9х–7.
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
х 2 – 9 = 0
х 2 = 9
Решая уравнение получим:
Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:
у( –4 ) "= (–4) 2 – 9 > 0
у(0 ) "= 0 2 – 9 < 0
у(4 ) "= 4 2 – 9 > 0
В точке х = – 3 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
Ответ: – 3
Квадратные уравнения.
Квадратное уравнение - алгебраическое уравнение общего вида
где x - свободная переменная,
a, b, c, - коэффициенты, причём
Выражение называют квадратным трёхчленом.
Способы решения квадратных уравнений.
1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.
Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0 . Разложим левую часть на множители:
х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х - 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = - 12 . Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х - 24 = 0 .
2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.
Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 . Выделим в левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:
х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как
х 2 + 2 х 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х 2 + 6х - 7 = 0 ,
прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:
х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16.
Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.
3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.
Умножим обе части уравнения
ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0
на 4а и последовательно имеем:
4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах) 2 + 2ах b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,
(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,
Примеры .
а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,
D > 0, два разных корня;
Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при
b 2 - 4ac >0 , уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.
б) Решим уравнение: 4х 2 - 4х + 1 = 0,
а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,
D = 0, один корень;
Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4ac = 0 , то уравнение
ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,
в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,
а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.
Данное уравнение корней не имеет.
Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4ac < 0 , уравнение
ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней.
Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.
4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х 2 + px + c = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид
x 1 x 2 = q,
x 1 + x 2 = - p
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).
а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р < 0 , то оба корня отрицательны, если р < 0 , то оба корня положительны.
Например,
x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;
x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.
б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .
Например,
x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;
x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.
Примеры.
1) Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то
х 1 = 1, х 2 = c/a = -208/345.
Ответ: 1; -208/345.
2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то
х 1 = 1, х 2 = c/a = 115/132.
Ответ: 1; 115/132.
Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней
Пример.
Решим уравнение 3х2 - 14х + 16 = 0 .
Решение . Имеем: а = 3, b = - 14, с = 16, k = - 7 ;
D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;
Ответ: 2; 8/3
В. Приведенное уравнение
х 2 + рх + q= 0
совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней
Принимает вид:
Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р - четное число.
Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.
Решение. Имеем: х 1,2 =7±
Ответ: х 1 = 15; х 2 = -1.
5. СПОСОБ: Решение уравнений графически.
Пример. Решить уравнение х2 - 2х - 3 = 0.
Построим график функции у = х2 - 2х - 3
1) Имеем: а = 1, b = -2, х0 = = 1, у0 = f(1)= 12 - 2 - 3= -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы - прямая х = 1.
2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = -1 и х = 3.
Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).
3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).
Корнями уравнения х2 - 2х - 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: х1 = - 1, х2 - 3.
Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m - любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m
2) \(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \)
3) (a n) m = a nm
4) (ab) n = a n b n
5) \(\left(\frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
7) a n > 1, если a > 1, n > 0
8) a n 1, n
9) a n > a m , если 0
В практике часто используются функции вида y = a x , где a - заданное положительное число, x - переменная. Такие функции называют показательными . Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени - заданное число.
Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а - заданное число, a > 0, \(a \neq 1\)
Показательная функция обладает следующими свойствами
1) Область определения показательной функции - множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.
2) Множество значений показательной функции - множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \(a \neq 1\), не имеет корней,
если \(b \leq 0\), и имеет корень при любом b > 0.
3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 Это следует из свойств степени (8) и (9)
Построим графики показательных функций у = a x при a > 0 и при 0 Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = a x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и
расположен выше оси Oх.
Если х 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
График функции у = a x при 0
Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является
горизонтальной асимптотой графика.
Если х
Показательные уравнения
Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \(a \neq 1\), х - неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \(a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
Решить уравнение 2 3x 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде
8 x 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 х + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х - 2 , получаем 3 х - 2 (3 3 - 2) = 25,
3 х - 2 25 = 25,
откуда 3 х - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как \(7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \(\frac{3^x}{7^x} = 1 \), откуда \(\left(\frac{3}{7} \right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0
Решить уравнение 9 х - 4 3 х - 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 - 4t - 45 = 0. Решая это уравнение,
находим его корни: t 1 = 9, t 2 = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не
может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 2 х + 1 + 2 5 x - 2 = 5 х + 2 х - 2
Запишем уравнение в виде
3 2 х + 1 - 2 x - 2 = 5 х - 2 5 х - 2 , откуда
2 х - 2 (3 2 3 - 1) = 5 х - 2 (5 2 - 2)
2 х - 2 23 = 5 х - 2 23
\(\left(\frac{2}{5} \right) ^{x-2} = 1 \)
x - 2 = 0
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 |х - 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \(3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х - 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 - 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 - корень исходного уравнения.
Ответ х = -1
I. ax 2 =0 – неполное квадратное уравнение (b=0, c=0 ). Решение: х=0. Ответ: 0.
Решить уравнения.
2x·(x+3)=6x-x 2 .
Решение. Раскроем скобки, умножив 2х на каждое слагаемое в скобках:
2x 2 +6x=6x-x 2 ; переносим слагаемые из правой части в левую:
2x 2 +6x-6x+x 2 =0; приводим подобные слагаемые:
3x 2 =0, отсюда x=0.
Ответ: 0.
II. ax 2 +bx=0 – неполное квадратное уравнение (с=0 ). Решение: x (ax+b)=0 → x 1 =0 или ax+b=0 → x 2 =-b/a. Ответ: 0; -b/a.
5x 2 -26x=0.
Решение. Вынесем общий множитель х за скобки:
х(5х-26)=0; каждый множитель может быть равным нулю:
х=0 или 5х-26=0 → 5х=26, делим обе части равенства на 5 и получаем: х=5,2.
Ответ: 0; 5,2.
Пример 3. 64x+4x 2 =0.
Решение. Вынесем общий множитель 4х за скобки:
4х(16+х)=0. У нас три множителя, 4≠0, следовательно, или х=0 или 16+х =0. Из последнего равенства получим х=-16.
Ответ: -16; 0.
Пример 4. (x-3) 2 +5x=9.
Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений раскроем скобки:
x 2 -6x+9+5x=9; преобразуем к виду: x 2 -6x+9+5x-9=0; приведем подобные слагаемые:
x 2 -x=0; вынесем х за скобки, получаем: x (x-1)=0. Отсюда или х=0 или х-1=0 → х=1.
Ответ: 0; 1.
III. ax 2 +c=0 – неполное квадратное уравнение (b=0 ); Решение: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.
Если (-c/a)<0 , то действительных корней нет. Если (-с/а)>0
Пример 5. x 2 -49=0.
Решение.
x 2 =49, отсюда x=±7. Ответ: -7; 7.
Пример 6. 9x 2 -4=0.
Решение.
Часто требуется найти сумму квадратов (x 1 2 +x 2 2) или сумму кубов (x 1 3 +x 2 3) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:
Помочь в этом может теорема Виета:
x 2 +px+q=0
x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.
Выразим через p и q :
1) сумму квадратов корней уравнения x 2 +px+q=0;
2) сумму кубов корней уравнения x 2 +px+q=0.
Решение.
1) Выражение x 1 2 +x 2 2 получится, если взвести в квадрат обе части равенства x 1 +x 2 =-p;
(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; раскрываем скобки: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; выражаем искомую сумму: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Мы получили полезное равенство: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.
2) Выражение x 1 3 +x 2 3 представим по формуле суммы кубов в виде:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).
Еще одно полезное равенство: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q).
Примеры.
3) x 2 -3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения x 1 2 +x 2 2 .
Решение.
x 1 +x 2 =-p=3, а произведение x 1 ∙x 2 =q= в примере 1 ) равенство:
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. У нас -p =x 1 +x 2 =3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 =-4. Тогда x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.
Ответ: x 1 2 +x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0. Вычислить: x 1 3 +x 2 3 .
Решение.
По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x 1 +x 2 =-p=2, а произведение x 1 ∙x 2 =q= -4. Применим полученное нами (в примере 2 ) равенство: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.
Ответ: x 1 3 +x 2 3 =32.
Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.
5) 2x 2 -5x-7=0. Не решая, вычислить: x 1 2 +x 2 2 .
Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x 2 -2,5x-3,5=0.
По теореме Виета сумма корней равна 2,5 ; произведение корней равно -3,5 .
Решаем так же, как пример 3) , используя равенство: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Ответ: x 1 2 +x 2 2 =13,25.
6) x 2 -5x-2=0. Найти:
Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p , а произведение корней через q , получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.
В нашем примере x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q= -2. Подставляем эти значения в полученную формулу:
7) x 2 -13x+36=0. Найти:
Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.
У нас x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36 . Подставляем эти значения в выведенную формулу:
Совет : всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13 , а произведение корней 36 . Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!
I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.
Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.
Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0) , второй коэффициент p=-1 , а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.
Находим дискриминант D =b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .
Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p ), а произведение равно свободному члену, т.е. (q ). Тогда:
x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30 , а сумма – единице . Это числа -5 и 6 . Ответ: -5; 6.
Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8 . Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D 1 D 1 =3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D 1 является полным квадратом числа 1 , значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6 , а произведение корней равно q=8 . Это числа -4 и -2 .
На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.
Пример 3) x 2 +2x-4=0 . В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2 , а свободный член q=-4 . Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент – четное число. D 1 =1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод : корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам ). Получаем:
Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x 1 =-7, x 2 =4.
Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0 , причем, на основании теоремы Виета –p=x 1 +x 2 =-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2 =-7∙4=-28 . Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.
Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:
II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.
Сумма корней равна минус b , деленному на а , произведение корней равно с , деленному на а:
x 1 +x 2 =-b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.
Пример 6). Найти сумму корней квадратного уравнения 2x 2 -7x-11=0 .
Решение.
Убеждаемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D =7 2 -4∙2∙(-11)>0 . А теперь воспользуемся теоремой Виета для полных квадратных уравнений.
x 1 +x 2 =-b:a =- (-7):2=3,5.
Пример 7) . Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x 2 +8x-21=0.
Решение.
Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент (8 ) является четным числом. D 1 =4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Квадратное уравнение имеет 2 корня, по теореме Виета произведение корней x 1 ∙x 2 =c:a =-21:3=-7.
I. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида
Дискриминант D=b 2 - 4ac.
Если D>0 , то имеем два действительных корня:
Если D=0 , то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a) .
Если D<0, то действительных корней нет.
Пример 1) 2x 2 +5x-3=0.
Решение. a =2; b =5; c =-3.
D=b 2 — 4ac =5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 действительных корня.
4x 2 +21x+5=0.
Решение. a =4; b =21; c =5.
D=b 2 — 4ac =21 2 — 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 действительных корня.
II. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при четном втором
коэффициенте b
Пример 3) 3x 2 -10x+3=0.
Решение. a =3; b =-10 (четное число ); c =3.
Пример 4) 5x 2 -14x-3=0.
Решение. a =5; b = -14 (четное число ); c =-3.
Пример 5) 71x 2 +144x+4=0.
Решение. a =71; b =144 (четное число ); c =4.
Пример 6) 9x 2 -30x+25=0.
Решение. a =9; b =-30 (четное число ); c =25.
III. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии : a-b+c=0.
Первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус с , деленному на а :
x 1 =-1, x 2 =-c/a.
Пример 7) 2x 2 +9x+7=0.
Решение. a =2; b =9; c =7. Проверим равенство: a-b+c=0. Получаем: 2-9+7=0 .
Тогда x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3,5. Ответ: -1; -3,5.
IV. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a+b+c=0.
Первый корень всегда равен единице, а второй корень равен с , деленному на а :
x 1 =1, x 2 =c/a .
Пример 8) 2x 2 -9x+7=0.
Решение. a =2; b =-9; c =7. Проверим равенство: a+b+c=0. Получаем: 2-9+7=0 .
Тогда x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3,5. Ответ: 1; 3,5.
Страница 1 из 1 1
Кабель ЛСВ 2-7 16х0,12 относится к типу ленточных марок, которые успешно применяются для внутри- и межприборного монтажа электротехнических и радиоэлектронных приспособлений, работающих в электросетях с постоянным 350 В током или с 250 В переменным напряжением на частотах до 50 Гц. Аппаратный монтаж производится при участии разного рода штепсельных соединителей, использования обжимки и контактных соединителей, для чего изоляция может прокалываться, при помощи пайки, а также не влияющих на изоляцию клеев и лаков. Изоляция не нарушается, если производится разделение жил по перемычке. Марка отлично выдерживает влияние синусоидальной вибрации, акустических шумов, линейного ускорения, одиночных и многократных механических ударов.
Расшифровка маркирования ЛСВ 2-7 16х0,12:
- Л - ленточный
- С - серийный
- В - изоляция из ПВХ
Элементы конструкции кабеля ЛСВ 2-7 16х0,12
- Монопроволочный меднолужёный внутренний проводник
- Изоляция из полимерного ПВХ- пластиката